（2013•达州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB
（2013•达州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM=[1/6]S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
赞 emma215500 幼苗
共回答了13个问题采纳率：92.3% 举报
（1）证明：连接CM，
∵AO是直径，M是圆心，
∴CM=OM，∠ACO=90°，
∴∠MOC=∠MCO．
∵D为OB的中点，
∴CD=OD，
∴∠DOC=∠DCO．
∵∠DOC+∠MOC=90°，
∴∠DCO+∠MCO=90°，
即∠MCD=90°，
∴CD是⊙M的切线；
（2）∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，
∴△ACO∽△AOB，
∴[AC/AO＝
AO
AB]，
∴[3/5＝
5
AB]，
∴AB=[25/3]．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
BO=[20/3]，
∵D为OB的中点，
∴OD=[1/2]OB=[10/3]，
∴D（0，[10/3]）．
∵OM=AM=[1/2]OA=[5/2]，
∴M（[5/2]，0）．设抛物线的解析式为y=a（x-[5/2]）（x-5），由题意，得
[10/3]=a（0-[5/2]）（0-5），
解得：a=[4/15]，
∴抛物线的解析式为：y=[4/15]（x-[5/2]）（x-5），
=[4/15]（x-[15/4]）2-[5/12]．
连接AD交对称轴于P，设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得
10
3＝b
0＝5k+b，
解得：
∵AO是直径，M是圆心，
∴CM=OM，∠ACO=90°，
∴∠MOC=∠MCO．
∵D为OB的中点，
∴CD=OD，
∴∠DOC=∠DCO．
∵∠DOC+∠MOC=90°，
∴∠DCO+∠MCO=90°，
即∠MCD=90°，
∴CD是⊙M的切线；
（2）∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，
∴△ACO∽△AOB，
∴[AC/AO＝
AO
AB]，
∴[3/5＝
5
AB]，
∴AB=[25/3]．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
BO=[20/3]，
∵D为OB的中点，
∴OD=[1/2]OB=[10/3]，
∴D（0，[10/3]）．
∵OM=AM=[1/2]OA=[5/2]，
∴M（[5/2]，0）．设抛物线的解析式为y=a（x-[5/2]）（x-5），由题意，得
[10/3]=a（0-[5/2]）（0-5），
解得：a=[4/15]，
∴抛物线的解析式为：y=[4/15]（x-[5/2]）（x-5），
=[4/15]（x-[15/4]）2-[5/12]．
连接AD交对称轴于P，设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得
10
3＝b
0＝5k+b，
解得：
1年前
1
可能相似的问题
你能帮帮他们吗