（2011•绵阳）已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．

（1）∵抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）²-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x²-2x+1=（x-1）²，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x²-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=x_D-x_B=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=
2．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=
2．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x²-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₁（x₁，y₁），作P₁M⊥x轴于M．
∵∠P₁EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P₁EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P₁EM，
则
P1M
EM＝
OE
OF＝
1
3，即EM=3P₁M．
∵EM=x₁+1，P₁M=y₁，
∴x₁+1=3y₁①
由于P₁（x₁，y₁）在抛物线C′上，
则有3（x₁²-2x₁-3）=x₁+1，
整理得，3x₁²-7x₁-10=0，解得，
x1＝
10
3，或x₂=-1（舍去）
把x1＝
10
3代入①中可解得，
y₁=[13/9]．
∴P₁（[10/3]，[13/9]）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₂（x₂，y₂），作P₂N⊥y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP₂N，
得[FN
P2N＝
OE/OF＝
1
3]，即P₂N=3FN．
∵P₂N=x₂，FN=3+y₂，
∴x₂=3（3+y₂）②
由于P₂（x₂，y₂）在抛物线C′上，
则有x₂=3（3+x₂²-2x₂-3），
整理得3x₂²-7x₂=0，解得x₂=0（舍）或x2＝
7
3．
把x2＝
7
3代入②中可解得，
y2＝−
20
9．
∴P₂（[7/3]，−
20
9）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（[10/3]，[13/9]）或（[7/3]，−
20
9）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查二次函数的综合运用，其中涉及求抛物线解析式和抛物线的顶点、三角形相似、抛物线的平移及直角三角形的性质．