f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤α

（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函数，证明如下：
对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=（αx₁+（1-α）x₂）²-αx₁²-（1-α）x₂²=-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f₁（x）=x²是C函数．
f2(x)＝
1
x(x＜0)不是C函数，证明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，α＝
1
2，
则f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=f(−2)−
1
2f(−3)−
1
2f(−1)＝−
1
2+
1
6+
1
2＞0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f2(x)＝
1
x(x＜0)不是C函数．
（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α＝
n
m∈[0，1]．
∵f（x）是R上的C函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=[n/m×2m＝2n．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S_f=m²+m．
综上所述，S_f的最大值为m²+m．
（Ⅲ）∵h（1）+h（2）+…+h（m）≤a对任意给定的正整数m恒成立
所以只需要a大于等于其最大值即可．
因为h（m）=m²+m，当m是正整数时，函数值随自变量的增大而增大；
所以h（m）没有最大值．
故h（1）+h（2）+…+h（m）也没有最大值．
所以所求a不存在．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；数列的求和．

考点点评： 本题主要是在新定义下考查恒成立问题．恒成立问题一般有两种情况，一是f（x）＞a恒成立，只须比f（x）的最小值小即可，二是f（x）＜a恒成立，只须比f（x）的最大值大即可．

1年前

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