如图，抛物线与x轴相交于点A（-4，0），B（-2，0），直线AC过抛物线上的点C（-1，3）．

（1）设该抛物线的解析式是y=a（x+4）（x+2）
把C（-1，3）代入得，
a=1．
∴该抛物线的解析式是y=x²+6x+8
设直线AC的解析式是y=kx+b
把A（-4，0），C（-1，3）代入得，


−4k+b＝0
−k+b＝3
解得

k＝1
b＝4
∴直线AC的解析式是y=x+4（4分）

（2）∵点A、B关于直线DE对称，
∴FB=FA（6分）
∴FB+FC=FA+FC
当点F与点E重合时，FB+FC最小，最小值是3
2（8分）

（3）当AB为菱形的对角线时，
菱形的另外两个顶点在线段AB的中垂线上，
而点P又在直线AC上，
∴点P的坐标是P（-3，1）
∴Q₁（-3，-1）（9分）
当AB为菱形的一边时，
①当AP=2时，点P是以A为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点．
∴点P的坐标是(
2−4，
2)或(−
2−4，−
2)
∴Q2(
2−2，
2)，Q3(−
2−2，−
2)（11分）
②当BP=2时，点P是以B为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点．
∴点P的坐标是（-2，2）
∴Q₄（-4，2）
∴在平面上存在点Q₁（-3，-1），Q2(
2−2，
2)，Q3(−
2−2，−
2)，Q₄（-4，2），使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．（12分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： ①合理选择抛物线的解析式．②求直线上一点到直线外同旁两点的距离之和最小的问题要转化为两点之间线段最短来解决．③此类问题要分类讨论，利用图形的几何性质解决．