赞 菜鸟炒下股 幼苗
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Sn=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4……+nx^n-1
两端同乘 x
x * Sn = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + …… +(n-1)*x^(n-1) + nx^n
两式相减
Sn - x Sn = 1 + (2x -x) + (3x^2 - 2x^2) + (4x^3 - 3x^3) + …… +[nx^(n-1) - (n-1)*x^(n-1)] - nx^n
(1-x)Sn = 1 + x + x^2 + x^3 + …… + x^(n-1) - nx^n
= (1 - x^n)/(1 -x) - nx^n
Sn = (1 - x^n)/(1-x)^2 - nx^n/(1-x)
两端同乘 x
x * Sn = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + …… +(n-1)*x^(n-1) + nx^n
两式相减
Sn - x Sn = 1 + (2x -x) + (3x^2 - 2x^2) + (4x^3 - 3x^3) + …… +[nx^(n-1) - (n-1)*x^(n-1)] - nx^n
(1-x)Sn = 1 + x + x^2 + x^3 + …… + x^(n-1) - nx^n
= (1 - x^n)/(1 -x) - nx^n
Sn = (1 - x^n)/(1-x)^2 - nx^n/(1-x)
1年前
3
xiaoshu8979 幼苗
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这是最巧妙的解法啦~~~~~~~~~~
右边＝f'(x), 其中f(x)=1+x+x^2+……+x^n=[1-x^(n+1)]/(1-x)
用此求和后的式子对f(x)求导
f'(x)={-(n+1)x^n(1-x)+[1-x^(n+1)]}/(1-x)^2
=[-(n+1)x^n+n*x^(n+1)+1]/(1-x)^2
=Sn
右边＝f'(x), 其中f(x)=1+x+x^2+……+x^n=[1-x^(n+1)]/(1-x)
用此求和后的式子对f(x)求导
f'(x)={-(n+1)x^n(1-x)+[1-x^(n+1)]}/(1-x)^2
=[-(n+1)x^n+n*x^(n+1)+1]/(1-x)^2
=Sn
1年前
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你能帮帮他们吗