如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．

（1）证明：如图1，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，


AB＝BC
∠ABE＝∠BCF
BE＝CF
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）如图2，根据题意得，
FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x²=（x-k）²+4k²，
∴x=[5k/2]，
∴sin∠BQP=[BP/QB]=[2k

5k/2]=[4/5]．

（3）∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长为2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴
S△AGN
S△AHM=(
AN
AM)2，
∴
S△AGN
1=(
2

5)2，
∴S_△AGN=[4/5]，
∴S_{四边形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN=1-[4/5]=[1/5]，
∴四边形GHMN的面积是[1/5]．

点评：
本题考点： 四边形综合题．

考点点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．