高等代数线性空间很多定理默认了一个事实,我感觉这个事实是错的?

高等代数线性空间很多定理默认了一个事实,我感觉这个事实是错的?
若A为线性空间V的线性变换,则,A也为V的子空间W的线性变换对吗?书上很多定理的证明红都把这当做一个事实,我感觉不对吧,首先线性变换是一个变换,变换的定义是：线性空间V到自身的映射,它可能把W的元素映出W,所以V的变换不一定是是W到W自身的映射呀,光从定义就过不了,就包括“用哈密顿凯莱定理将线性空间V按特征值分解成不变子空间的直和”的证明中就直接这样想当然了,那证明臭长臭长的,有很多子空间,不变子空间,我死瞅着一个个定义（高等代数果然果然不像线性代数,是个罗嗦婆,很多变换和空间,不仔细看定义还真感觉是一回事）看的,发现它确实这样用了,