如图：已知点C在圆O上，P是圆O外一点；割线PO交圆O于点B、A，已知AC=PC，∠COB=2∠PCB，且PB=2；

解题思路：（1）根据切线的判定定理，证明∠OCP=90°即可；
（2）根据条件容易求出∠P=30°；
（3）因为AB是定值，所以当OM⊥AB时，AB边上的高最大，则△ABM的面积最大，则M点的位置确定，N的位置也随之确定，又OM的值已求，ON的值易求，从而可根据勾股定理在Rt△OMN中求出MN的值，再由割线定理求出NC，然后根据MC=MN-NC求出MC的值．

（1）证明：∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠A．
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA．
∴∠PCB=∠OCA．
∵AB是直径，
∴∠OCA+∠BCO=90°．
∴∠PCB+∠BCO=90°．
∴∠OCP=90°．
∴PC是圆O的切线．

（2）∵AC=PC，
∴∠P=∠A．
设∠A=x°，则∠PCB=∠P=∠OCA=x°，
∴∠COB=2∠PCB=2x°，∠CBO=∠P+∠PCB=2x°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=2x°．
∴x=30°，tan∠P=

3
3．

（3）在Rt△OCP中，
∵∠OPC=30°，
∴OP=2OC．
∵PB=2，
∴OC=OB=2．
∴OP=4，PC=2
3．
过O作OM⊥AB于O，则△ABM的面积最大．
∵∠COM=150°，OC=OM，
∴∠M=∠OCM=15°．
∴∠PNC=75°，
∴∠PCN=∠OCP-∠OCM=75°．
∴PN=PC=2
3．
∴ON=2
3+4．
∵OM=2，
∴MN=2
2+2
6．
又∵NB•NA=NC•NM，
∴NC=
6+3
2．
∴MC=MN-NC=
6-
2．
∴MN=2
2+2
6，MC=
6-
2．

点评：
本题考点： 切线的判定；勾股定理；切割线定理．

考点点评： 本题考查切线的判定，三角函数，切割线定理，勾股定理的综合运用．