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探究一:
(1)依题意画出图形,如答图1所示:
由题意,得∠CFB=60°,FP为角平分线,
则∠CFP=30°。
∴CF=BC•sin30°=3×
![](https://img.yulucn.com/upload/e/0d/e0de1136ef040e6a1070da9b8d22d37c_thumb.jpg)
=
![](https://img.yulucn.com/upload/d/df/ddf0bf58390ff155783825aab551039e_thumb.jpg)
。
∴CP=CF•tan∠CFP=
![](https://img.yulucn.com/upload/d/df/ddf0bf58390ff155783825aab551039e_thumb.jpg)
×
![](https://img.yulucn.com/upload/e/0d/e0de1136ef040e6a1070da9b8d22d37c_thumb.jpg)
=1。
过点A作AG⊥BC于点G,则AG=
![](https://img.yulucn.com/upload/0/9a/09a947d1187257a5901acc4ff1bc1f8f_thumb.jpg)
BC=
![](https://img.yulucn.com/upload/3/ed/3ed0a3d3f65113e46789cfaaa1b49d61_thumb.jpg)
,
∴PG=CG﹣CP=
![](https://img.yulucn.com/upload/3/ed/3ed0a3d3f65113e46789cfaaa1b49d61_thumb.jpg)
﹣1=
![](https://img.yulucn.com/upload/0/9a/09a947d1187257a5901acc4ff1bc1f8f_thumb.jpg)
。
在Rt△APG中,由勾股定理得:
![](https://img.yulucn.com/upload/5/4d/54d9a1403840b37ce1821147fcbcb527_thumb.jpg)
。
(2)由(1)可知,FC=
![](https://img.yulucn.com/upload/d/df/ddf0bf58390ff155783825aab551039e_thumb.jpg)
.
如答图2所示,以点A为圆心,以FC=
![](https://img.yulucn.com/upload/d/df/ddf0bf58390ff155783825aab551039e_thumb.jpg)
长为半径画弧,与BC交于点P
1 、P
2 ,则AP
1 =AP
2 =
![](https://img.yulucn.com/upload/d/df/ddf0bf58390ff155783825aab551039e_thumb.jpg)
。
过点A过AG⊥BC于点G,则AG=
![](https://img.yulucn.com/upload/0/9a/09a947d1187257a5901acc4ff1bc1f8f_thumb.jpg)
BC=
![](https://img.yulucn.com/upload/3/ed/3ed0a3d3f65113e46789cfaaa1b49d61_thumb.jpg)
,
在Rt△AGP1中,
![](https://img.yulucn.com/upload/4/0e/40e14ae2c05f27650de759b8f6e27e1b_thumb.jpg)
,∴∠P
1 AG=30°。
∴∠P
1 AB=45°﹣30°=15°。
同理求得,∠P
2 AG=30°,∠P
2 AB=45°+30°=75°。
∴∠PAB的度数为15°或75°。
探究二:△AMN的周长存在有最小值。
如答图3所示,连接AD,
图3
∵△ABC为等腰直角三角形,点D为斜边BC的中点,
∴AD=CD,∠C=∠MAD=45°。
∵∠EDF=90°,∠ADC=90°,∴∠MDA=∠NDC。
∵在△AMD与△CND中,
![](https://img.yulucn.com/upload/4/f5/4f502c42e522ae56f71e26a7398ed581_thumb.jpg)
,
∴△AMD≌△CND(ASA)。∴AM=CN。
设AM=x,则CN=x,
![](https://img.yulucn.com/upload/3/32/3324ce3c9a3b6e2f002cb643a0b7de81_thumb.jpg)
,
在Rt△AMN中,由勾股定理得:
![](https://img.yulucn.com/upload/9/7d/97d4a81a6039d9da7b0416b06080d598_thumb.jpg)
,
∴△AMN的周长为:AM+AN+MN=
![](https://img.yulucn.com/upload/c/f6/cf69e93e69a3c849093953299a0fce40_thumb.jpg)
。
当x=
![](https://img.yulucn.com/upload/e/c0/ec01a4e28c990003219a2f51c6348941_thumb.jpg)
时,有最小值,最小值为
![](https://img.yulucn.com/upload/e/3c/e3c8261b2c1fbf3027ec04a79c3ec0d1_thumb.jpg)
。
∴△AMN周长的最小值为
![](https://img.yulucn.com/upload/d/7c/d7c2fab59ff1ce4e3a886878a61fd966_thumb.jpg)
。
探究一:(1)如答图1所示,过点A作AG⊥BC于点G,构造Rt△APG,利用勾股定理求出AP的长度。
(2)如答图2所示,符合条件的点P有两个.解直角三角形,利用特殊角的三角函数值求出角的度数。
探究二:如答图3所示,证明△AMD≌△CND,得AM=CN,则△AMN两直角边长度之和为定值;设AM=x,求出斜边MN的表达式,利用二次函数的性质求出MN的最小值,从而得到△AMN周长的最小值。
1年前
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