（2014•山西模拟）如图1，在Rt△ABC中，AB=BC=2，D，E分别是AB，AC的中点，将如图2所示中△ADE沿线
（2014•山西模拟）如图1，在Rt△ABC中，AB=BC=2，D，E分别是AB，AC的中点，将如图2所示中△ADE沿线段DE折起到△ADE，使平面ADE⊥平面DBCE．
（Ⅰ）当M是DE的中点时，证明BM⊥平面ACD；
（Ⅱ）设BE与DC相交于点N，求二面角B-AN-C的余弦值．
（Ⅰ）当M是DE的中点时，证明BM⊥平面ACD；
（Ⅱ）设BE与DC相交于点N，求二面角B-AN-C的余弦值．
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解题思路：（Ⅰ）由已知条件得AD⊥平面DBCE，从而AD⊥BM，由△BDM∽△CBD，得DC⊥BM，由此能证明BM⊥平面ACD．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角B-AN-C的余弦值．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角B-AN-C的余弦值．
（Ⅰ）证明：由题意知∠ADE=90°，
∵平面ADF⊥平面DBCE，DE为两平面的交线，
∴AD⊥平面DBCE，
又∵BM⊂平面DBCE，∴AD⊥BM，
又∵[DB/BC＝
DM
DB]，∴△BDM∽△CBD，
∴∠BDC=∠DMB，
又∵∠BDC+∠CDM=90°，∴∠BMD+∠CDM=90°，
∴DC⊥BM，又∵AD∩CD=D，
∴BM⊥平面ACD．
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
A（0，0，1），B（1，0，0），E（0，1，0），M（0，[1/2]，0），
AB＝(1，0，−1)，
AE＝(0，1，−1)，
设
m＝(x，y，z)是平面的一个法向量，
则
AB•
m＝x−z＝0
AE•
点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
1年前
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