srycn 幼苗
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(1)∵α=60°,BC=10,
∴sinα=[CE/BC],
即sin60°=[CE/10]=
3
2,
解得CE=5
3;
(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF.
理由如下:连接CF并延长交BA的延长线于点G,
∵F为AD的中点,
∴AF=FD,
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,
∴∠G=∠DCF,
在△AFG和△DFC中,
∠G=∠DCF
∠AFG=∠DFC(对顶角相等)
AF=FD,
∴△AFG≌△DFC(AAS),
∴CF=GF,AG=CD,
∵CE⊥AB,
∴EF=GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴∠AEF=∠G,
∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点,
∴AG=5,AF=[1/2]AD=[1/2]BC=5,
∴AG=AF,
∴∠AFG=∠G,
在△EFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
又∵∠CFD=∠AFG(对顶角相等),
∴∠CFD=∠AEF,
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF;
②设BE=x,∵AG=CD=AB=5,
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x,
在Rt△BCE中,CE2=BC2-BE2=100-x2,
在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x)2+100-x2=200-20x,
∵由①知CF=GF,
∴CF2=([1/2]CG)2=[1/4]CG2=[1/4](200-20x)=50-5x,
∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-(x-[5/2])2+50+[25/4],
∴当x=[5/2],即点E是AB的中点时,CE2-CF2取最大值,
此时,EG
点评:
本题考点: 平行四边形的性质;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.
考点点评: 本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,二次函数的最值问题,作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键,另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要.
1年前
你能帮帮他们吗