（2014•广东模拟）已知函数f(x)＝x2+a22x(a＞0)，数列{an}满足a1=3a，an+1=f（an），设b

解题思路：（1）依题意，f（x）=

x2+a2

2x

，a₁=3a，a_n+1=f（a_n），可求得a₂，又b_n=

an−a

an+a

，从而可求得b₁，b₂的值；
（2）由a_n+1=

an2+a2

2an

，b_n=

an−a

an+a

，可求得b_n+1=bn2，结合（1）中求得的b₁，b₂可知{lgb_n}是以2为公比，首项为-lg2的等比数列，从而可求数列{b_n}的通项公式；
（3）由（2）得T_n=[1/2]+(

1

2

)2+(

1

2

)4+…+(

1

2

)2n−1，易证当n≤3时，T_n＜[7/8]；当n＞3时，利用二项式性质2^n-1=（1+1）^n-1＞1+

C

1 n−1

+

C

2 n−1

＞1+（n-1）+1=n+1，亦可证得T_n＜[7/8]．

（1）∵f（x）=
x2+a2
2x（a＞0），a₁=3a，a_n+1=f（a_n），
∴a₂=f（a₁）=
9a2+a2
6a=[5/3]a．
由b_n=
an−a
an+a得b₁=[1/2]，b₂=[1/4]…2分
（2）∵a_n+1=
an2+a2
2an，b_n=
an−a
an+a，
∴b_n+1=
an+1−a
an+1+a=

an2+a2
2an−a

an2+a2
2an+a=(
an−a
an+a)2=bn2…4分
又b₁=[1/2]，故对一切正整数n，都有b_n＞0，
∴lgb_n+1=2lgb_n，
又lgb₁=lg[1/2]=-lg2≠0，
∴{lgb_n}是以2为公比，首项为-lg2的等比数列．
故lgb_n=（-lg2）×2^n-1=lg(
1
2)2n−1…6分
∴b_n=(

点评：
本题考点： 数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列的求和，突出考查数列的函数特性，考查等比数列的确定及通项公式与求和公式的综合应用，考查二项式定理，属于难题．