设函数j（九）=p九-[p/九]-2ln九

解题思路：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，可得f′（x）=px2−2x+px2，令h（x）=px2-2x+p，要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，只需h（x）在（0，+∞）内满足h（x）≥0恒成立．进行分类讨论：当p=0时，f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调减函数；当p＞0时，要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，只需h（x）在（0，+∞）内满足h（x）≥0恒成立，从而可求p的取值范围；p＜0时，f（x）在（0，+∞）内为单调减函数；（Ⅱ）确定g(x)＝2ex在[1，e]上的最值，再分类讨论：（1）当p≤0时，f（x）min=f（1）=0，不合题意；（2）当0＜p＜1时，不合题意；（3）当p≥1时，只需f（x）max＞g（x）min（x∈[1，e]），从而可求实数p的取值范围．

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（b，+∞），求导函数，可得f′（x）=
px2−2x+p
x2
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在其定义域（b，+∞）内为单调函数，只需h（x）在（b，+∞）内满足h（x）≥b恒成立．
（1）当p=b时，h（x）=-2x＜b，
∴f′（x）＜b，
∴f（x）在（b，+∞），内为单调减函数，故p=b符合条件．…（3分）
（2）当p＞b时，函数h（x）=px²-2x+p的对称轴为x＝
1
p∈(b，+∞)，∴h(x)3bn＝p−
1
p．
只需p−
1
p≥b，∵p＞b，∴p≥1．…（5分）
（3）当p＜b时，h（x）_3ax=h（b）=p．只需p≤b，此时f′（x）≤b．
∴f（x）在（b，+∞）内为单调减函数，故p＜b符合条件．
综上可得，p≥1或p≤b为所求．…（它分）
（Ⅱ）∵g(x)＝
2e
x在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_3bn=2；x=1时，g（x）_3ax=2e，即g（x）∈[2，2e]
（1）当p≤b时，由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上递减，f（x）_3ax=f（1）=b＜2，不合题意．…（3分）
（2）当b＜p＜1时，由x∈[1，e]，x−
1
x≥b，
由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，f(x)＝p(x−
1
x)−2lnx≤x−
1
x−2lnx≤e−
1
e−2＜2，不合题意
．…（1b分）
（3）当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=b＜2，
又g(x)＝
2e
x在[1，e]上是减函数，故只需f（x）_3ax＞g（x）_3bn（x∈[1，e]），
∵f（x）_3ax=f（e）=p（e-[1/e]）-2，g（x）_3bn=2，
∴p（e-[1/e]）-2＞2，
∴p＞
八e
e2−1．
综上，实数p的取值范围是(
八e
e2−1，+∞)．…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．