（2010•卢湾区二模）数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是
（2010•卢湾区二模）数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．连接OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线--过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线--过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
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解题思路：（1）由四边形ABCD是正方形，可得OB=OD，又由OM⊥BC，易证得OM∥DC，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式；
（2）作OM∥CD交BC于点M，利用（1）中的方法，即可求得y关于x的函数解析式；
（3）首先作ON∥CD交BC于点N，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式．
（2）作OM∥CD交BC于点M，利用（1）中的方法，即可求得y关于x的函数解析式；
（3）首先作ON∥CD交BC于点N，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式．
（1）如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=
1
2DC=
1
2，CM=
1
2BC=
1
2．
∵OM∥DC，
∴
CF
OM=
CE
EM，
即
y
1
2=
x
x+
1
2，
解得y=
x
2x+1．定义域为x＞0．
（2）y=
2x
2x+3（x＞0）．
（3）如右图：
AD∥BC，
BO
OD=
BC
AD=
a
c，
BO
BD=
a
a+c．
过点O作ON∥CD，交BC于点N，
∴
ON
DC=
BO
BD，
∴ON=
ab
a+c．
∵ON∥CD，
CN
BN=
OD
BO=
c
a，
∴
CN
BC=
c
a+c，
∴CN=
ac
a+c．
∵ON∥CD，
∴
CF
ON=
CE
EN，即
y
ab
a+c=
x
x+
ac
a+c．
∴y关于x的函数解析式为y=
abx
(a+c)x+ac（x＞0）．
点评：
本题考点： 平行线分线段成比例；平行四边形的性质；正方形的性质．
考点点评： 此题考查了平行线分线段成比例定理．此题的图形变化比较多，难度较大，解题的关键是注意识图，准确应用数形结合思想解题．
1年前
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