（2008•海南）设函数f(x)＝ax+1x+b(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3

解题思路：（I）欲求在点（2，f（2））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（Ⅱ）由函数y₁=x，y2＝

1

x

都是奇函数．可得和函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．再按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）先在曲线上任取一点(x0，x0+

1

x0−1

)．利用导数求出过此点的切线方程为，令x=1得切线与直线x=1交点．令y=x得切线与直线y=x交点．从而利用面积公式求得所围三角形的面积为定值．

（Ⅰ）f′(x)＝a−
1
(x+b)2，
于是

2a+
1
2+b＝3
a−
1
(2+b)2＝0
解得

a＝1
b＝−1或

a＝
9
4
b＝−
8
3.
因a，b∈Z，故f(x)＝x+
1
x−1．
（Ⅱ）证明：已知函数y₁=x，y2＝
1
x都是奇函数．
所以函数g(x)＝x+
1
x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而f(x)＝x−1+
1
x−1+1

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．