（2013•莱芜二模）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加
（2013•莱芜二模）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%．
（I）设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；
（Ⅱ）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？
（I）设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；
（Ⅱ）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？
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解题思路：（I）当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列；当n≥8时，数列{an}是首项为a7，公比为 [5/4]的等比数列，故可求n年该生产线的维护费用an的表达式；
（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤7时，当n≥8时，Sn，该生产线前n年每年的平均维护费用
，且{
}为增数列，从而可求第9年初需要更新该生产线．
（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤7时，当n≥8时，Sn，该生产线前n年每年的平均维护费用
| Sn |
| n |
| Sn |
| n |
（I）当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，an=4+2（n-1）=2n+2；
当n≥8时，数列{an}是首项为a7，公比为 [5/4]的等比数列，又a7=16，∴an=16×（ [5/4]）n-7
∴an的表达式为an=
2n+2，n≤7
16×(
5
4)n−7，n≥8；
（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤7时，Sn=4n+n（n-1）=n2+3n…（8分）
当n≥8时，由S7=70，Sn=S7+16×[5/4]×
1−(
5
4)n−7
1−
5
4=80•(
5
4)n−7-10．
该生产线前n年每年的平均维护费用
Sn
n=
n+3，1≤n≤7
80•(
5
4)n−7−10
n，n≥8
当1≤n≤7时，{
Sn
n}为增数列，
当n≥8时，∵
Sn+1
n+1−
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和．
考点点评： 本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的通项及求和公式的运用，解题的关键是构建等差数列、等比数列模型．
1年前
7
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