samtong0156 幼苗
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证明:(1)f(m-x)+f(m+x)=2n恒成立
设(a,b)是函数y=f(x)图象上任意一点,该点关于点(m,n)对称的点的坐标是(c,d),那么点(m,n)是点(a,b)与点(c,d)的中点
即:a+c=2m,b+d=2n,
令x0=m-a,则a=m-x0,c=m+x0,
点(a,b)在函数y=(x)的图象上,那么:b=f(a)=f(m-x0),
所以,d=2n-b=2n-f(m-x0)=f(m+x0)=f(c),
即点(c,d )也在函数y=f(x)的图象上则,
故函数y=f(x)的图象关于点(m,n)对称.(2)设A(m,n)为函数f(x)=x3+2x2图象的一个对称点,则f(m-x)+f(m+x)=2n,对于x∈R恒成立.即(m-x)3+2(m-x)2+(m+x)3+2(m+x)2=2n对于x∈R恒成立,
∴(6m+4)x2+(2m3+4m2-2n)=0
由
6m+4=0
2m3+4m2-2n=0解得:
m=-
2
3
n=
16
27
故函数f(x)图象的一个对称点为(-
2
3,
16
27)
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用.
考点点评: 本题主要考查了函数的对称性,灵活利用f(m-x)+f(m+x)=2n的对称中心为(m.n),属于基础题.
1年前
1年前1个回答
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你能帮帮他们吗