函数f（x）=log3（ax-1），（a＞0，且a≠1）．

解题思路：（1）当a＞1时，由a^x-1＞0，求得x的范围，可得函数的定义域．当0＜a＜1时，由a^x-1＞0，求得x的范围，可得函数的定义域．
（2）根据该函数的图象经过点M（2，1），求得a=2，可得函数f（x）=log3(2x−1)，再根据函数的单调性的定义证明函数f（x）=log3(2x−1) 在
（0，+∞）上是增函数．

（1）当a＞1时，由函数f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＞0，故函数的定义域为（0，+∞）．
当0＜a＜1时，由函数f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＜0，故函数的定义域为（-∞，0）．
（2）若该函数的图象经过点M（2，1），则有 log₃（a²-1）=1，∴a²=4，∴a=2．
故函数f（x）=log3(2x−1)，它的定义域为（0，+∞）．
设x₂＞x₁＞0，则 f（x₂）-f（x₁）=log3(2x2−1)-log3(2x1−1)=log3
2x2−1
2x1−1．
再由题设x₂＞x₁＞0，可得2x2−1＞2x1−1＞0，∴
2x2−1
2x1−1＞1，∴log3
2x2−1
2x1−1＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）=log3(2x−1) 在（0，+∞）上是增函数．

点评：
本题考点： 复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查求函数的定义域，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性规律，属于基础题．