在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD是等边三角形

小题1:① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
在等边△ABD中，∠BAD=60°, ∴ ∠BAD=∠ABC="60°" .
∵ E为AB的中点，∴ AE=BE.
又∵ ∠AEF=∠BEC ,∴ △AEF≌△BEC 3分
② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点
∴ CE= AB,BE= AB， ∴ ∠BCE=∠EBC="60°" .
又∵ △AEF≌△BEC,∴ ∠AFE=∠BCE="60°" .
又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠D=60° ∴ FC∥BD
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC
∴ 四边形BCFD是平行四边形.
小题2:

① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
在等边△ABD中，∠BAD=60°, ∴ ∠BAD=∠ABC="60°" .
∵ E为AB的中点，∴ AE=BE.
又∵ ∠AEF=∠BEC ,∴ △AEF≌△BEC 3分
② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点
∴ CE= AB,BE= AB， ∴ ∠BCE=∠EBC="60°" .
又∵ △AEF≌△BEC,∴ ∠AFE=∠BCE="60°" .
又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠D=60° ∴ FC∥BD
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC
∴ 四边形BCFD是平行四边形.
（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30° ∴∠CAH=90°
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC =a
∴ AB=2BC=2a，∴ AD=AB=2a.
设AH =" x" ，则 HC=HD=AD-AH=2a-x.
在Rt△ABC中，AC ² =(2a) ² -a ² =3a ² .
在Rt△ACH中，AH ² +AC ² =HC ² ，即x ² +3a ² =(2a-x) ² .
解得 x= a，即AH= a.
∴ HC=2a-x=2a- a= a