（2013•广州三模）已知函数f（x）=[x/1+x]（x＞0），设f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线在y

（Ⅰ）∵f(x)＝
x/1+x(x＞0)．则an+1＝f(an)＝
an
1+an]，得[1
an+1＝
1
an+1，即
1
an+1−
1
an＝1，
∴数列{
1
an}是以2为首项、1为公差的等差数列，
故an＝
1/n+1]．（4分）
（Ⅱ）又∵[f(x)]′＝
1
(1+x)2，
∴函数f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线方程为：y−f(n)＝
1
(1+n)2(x−n)，
令x=0，得bn＝
n
1+n−
n
(1+n)2＝
n2
(1+n)2．
∴
bn
an2+
λ
an＝n2+λ(n+1)＝(n+
λ
2)2+λ−
λ2
4，仅当n=5时取得最小值，
只需4.5＜−
λ
2＜5.5，解得-11＜λ＜-9．
故λ的取值范围为（-11，-9）．（9分）
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），故c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），
又∵c1＝
1
2＞0，故c_n＞0，则[1
cn+1＝
1

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列的应用．

考点点评： 本题是函数、数列、不等式、导数等的大型综合题，情景新颖，具有较好的区分度，要求学生具有一定的审题、读题能力，一定的等价变形能力，是一种比较常见的题型，尤其数列不等式采用导数工具来处理的新题不可小视．

1年前

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