成才之路数学B版选修2-3答案

选修2-2 3.2.1 是这吗

一、选择题
1．|(3＋2i)－(4－i)|等于(　　)
A.58 B.10
C．2 D．－1＋3i
[答案]　B
[解析]　原式＝|－1＋3i|＝(－1)2＋32＝10.
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
[答案]　A
[解析]　原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
3．已知z1＝a＋bi,z2＝c＋di,若z1＋z2是纯虚数,则有(　　)
A．a－c＝0且b－d≠0　　
B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0
D．a＋c＝0且b＋d≠0
[答案]　C
4．设f(z)＝z,且z1＝1＋5i,z2＝－3＋2i,则f(z1－z2)的值是(　　)
A．－2＋3i B．－2－3i
C．4－3i D．4＋3i
[答案]　D
[解析]　∵z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i
∴z1－z2＝4－3i,∵f(z)＝z,∴f(4－3i)＝4－3i＝4＋3i.故选D.
5．设z∈C,且|z＋1|－|z－i|＝0,则|z＋i|的最小值为(　　)
A．0　　　　B．1　　　　
C.22　　　　D.12
[答案]　C
[解析]　∵|z＋1|＝|z－i|,∴复数z的对应点轨迹为连结点A(－1,0),B(0,1)的线段的中垂线y＝－x,而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到定点(0,－1)的距离,∴|z＋i|≥22.故选C.
6．已知|z－3|＋|z＋3|＝10且|z－5i|－|z＋5i|＝8,则复数z等于(　　)
A．4i B．－4i
C．±4i D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　由几何意义可知复数z的对应点在以F1(－3,0),F2(3,0)为焦点、长轴长为10的椭圆上,又在F3(0,－5),F4(0,5)为焦点、实轴长为8的双曲线的下支上．如图故z＝－4i.故选B.

7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1、z2、z3,若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|,则z对应的点为△ABC的(　　)
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
[答案]　D
[解析]　由几何意义知,z到△ABC三个顶点距离都相等,z对应的点是△ABC的外心．
8．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2,那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 B.2
C．2 D.5
[答案]　A
[解析]　设复数－i、i、－1－i在复平面内对应的点分别为Z1、Z2、Z3,因为|z＋i|＋|z－i|＝2,|Z1Z2|＝2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,
∵|Z1Z3|＝1.故选A.
9．满足条件|z|＝1及z＋12＝z－32的复数z的集合是(　　)
A.－12＋32i,－12－32i
B.12＋12i,12－12i
C.12＋32i,12－32i
D.22＋22i,22－22i
[答案]　C
[解析]　解法1：设z＝x＋yi (x、y∈R),依题意得
x2＋y2＝1x＋122＋y2＝x－322＋y2,解得x＝12y＝±32
∴z＝12±32i.
解法2：根据复数模的几何意义知|z|＝1是单位圆,z＋12＝z－32是以A－12,0,B32,0为端点的线段AB的中垂线x＝12.
∴满足此条件的复数z是以12为实部的一对共轭复数,由模为1知选C.故选C.
10．A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点,O是原点,若|z1＋z2|＝|z1－z2|,则△AOB是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　由复数与向量的对应关系,|z1＋z2|＝|z1－z2|⇔|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|,
∴以OA→、OB→为邻边的平行四边形为矩形,
∴∠AOB为直角．故选B.
二、填空题
11．在复平面内,若复数z满足|z＋3|＋|z－3|＝10,则z在复平面内对应的点的轨迹方程为____________．
[答案]　x225＋y216＝1
[解析]　根据模的几何意义,复数z在复平面内对应的点到两定点(－3,0)、(3,0)的距离之和为定值10,故其轨迹是以(－3,0)、(3,0)为焦点的椭圆．
∵2c＝6,2a＝10,∴b＝4,
从而其轨迹方程是x225＋y216＝1.
12．已知|z|＝1,则|1－3i－z|的最大值是________,最小值是________．
[答案]　3　1
[解析]　因为|z|＝1,所以z在半径为1的圆上,|1－3i－z|＝|z－(－1＋3i)|即圆上一点到点(－1,3)的距离,dmax＝3,dmin＝1.
13．已知z＝1＋i,设ω＝z－2|z|－4,则ω＝________.
[答案]　－(3＋22)＋i
[解析]　∵z＝1＋i,∴|z|＝2,
∴ω＝z－2|z|－4＝(1＋i)－22－4
＝－(3＋22)＋i.
14．设m∈Z,复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i),
(1)若z为实数,则m＝________；
(2)若z为纯虚数,则m＝________.
[答案]　(1)1或2　(2)－12
[解析]　(1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
由题意：m2－3m＋2＝0,
即m＝1或m＝2时,z是实数．
(2)依题意2m2－3m－2＝0m2－3m＋2≠0解得m＝－12,
∴当m＝－12时,z是纯虚数．
三、解答题
15．已知复数z满足方程|2z－1＋i|＝|z＋1|,求复数z对应点的轨迹．
[解析]　设z＝x＋yi (x、y∈R),则(2x－1)2＋(2y＋1)2＝(x＋1)2＋y2,整理得(x－1)2＋y＋232＝109.
∴轨迹是以点1,－23为圆心,103为半径的圆．
16．已知点P对应复数z1,点Q对应复数2z1＋3－4i,若P在圆|z|＝2上运动,求Q点的轨迹．
[解析]　设Q点对应复数为z.则z＝2z1＋3－4i,
∴z1＝12(z－3＋4i)
∵|z1|＝2,∴12(z－3＋4i)＝2.
即|z－(3－4i)|＝4.
∴Q点的轨迹是以3－4i对应点(3,－4)为圆心,半径为4的圆．
17．若f(z)＝2z＋z－3i.f(z＋i)＝6－3i,试求f(－z)．
[解析]　∵f(z)＝2z＋z－3i,
∴f(z＋i)＝2(z＋i)＋(z＋i)－3i＝2z＋2i＋z－i－3i＝2z＋z－2i,
又f(z＋i)＝6－3i,∴2z＋z－2i＝6－3im
即2z＋z＝6－im
设z＝a＋bi(a,b∈R),则z＝a－bi.
∴2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i,即3a＝6－b＝－1,∴a＝2b＝1,
∴z＝2＋i,
∴f(－z)＝－2z－z－3i＝－2(2＋i)－(2－i)－3i
＝－6－4i.
18．已知z1,z2∈C,求证：
(1)|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|；
(2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
[证明]　(1)如图所示,根据复数加、减法的几何意义,令z1,z2分别对应向量AB→,AD→,
则向量AC→,DB→分别对应复数z1＋z2,z1－z2.

∵|AB→|－|BC→|≤|AC→|≤|AB→|＋|BC→|,∴|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.
又∵|AB→|－|AD→|≤|DB→|≤|AB→|＋|AD→|
∴|z1|－|z2|≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.
故|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
(2)设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,
则|z1＋z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd,
|z1－z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2－2ac－2bd,
∴|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
＝(a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd)＋(a2＋b2＋c2＋d2－2ac－2bd)
＝2(a2＋b2＋c2＋d2)
＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)
＝2|z1|2＋2|z2|2,
即|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.

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