孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax 2 （a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点
| 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax 2 （a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得 OA=OB=  （如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。 |
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（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=
，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，-2）
将B（2，-2）代入抛物线y=ax 2 （a＜0）得，a=-
，
（2）：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，-
），
∴BF=
又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
又∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴
，
∴AE=2OE
设点A（-m，-
m 2 ）（m＞0），则OE=m，AE=
m 2 ，
∴
m 2 =2m，
∴m=4，即点A的横坐标为-4；
（3）设A（-m，-
m 2 ）（m＞0），B（n，-
n 2 ）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
（1）×n+（2）×m得，（m+n）b=-
（m 2 n+mn 2 ）=-
mn（m+n），
∴b=-
mn
又易知△AEO∽△OFB，
∴
，
∴
，
∴mn=4
∴ b=-
×4=-2，
由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）。
∵OA=OB=
，∠AOB=90°，∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，-2）
将B（2，-2）代入抛物线y=ax 2 （a＜0）得，a=-
，（2）：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，-
），∴BF=
又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
又∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴
，∴AE=2OE
设点A（-m，-
m 2 ）（m＞0），则OE=m，AE=
m 2 ，∴
m 2 =2m，∴m=4，即点A的横坐标为-4；
（3）设A（-m，-
m 2 ）（m＞0），B（n，-
n 2 ）（n＞0），设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
（1）×n+（2）×m得，（m+n）b=-
（m 2 n+mn 2 ）=-
mn（m+n），∴b=-
mn又易知△AEO∽△OFB，
∴
，∴
，∴mn=4
∴ b=-
×4=-2，由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）。
1年前
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