已知O是三角形ABC所在平面上的定点,动点P满足:

证明：
1.垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)}OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)}
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)}
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)}
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)}
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)}
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )}
根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB
从而|AB|*sinB=|AC|*sinC
则-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0
从而 AP•BC=0
∴P点轨迹过三角形的垂心

2.外心
向量OP=（向量OB+向量OC）/2+λ（向量AB/（|向量AB|*cosB）+向量AC/（|向量AC|*cosC）） =-|BC|+|BC|=0 从而 向量BC与λ（向量AB/（|向量AB|*cosB）+向量AC/（|向量AC|*cosC）） 垂直
设D为BC的中点
从而 OB+OC/2=OD
设λ（向量AB/（|向量AB|*cosB）+向量AC/（|向量AC|*cosC）） =向量DPOB+OC/2+λ（向量AB/（|向量AB|*cosB）+向量AC/（|向量AC|*cosC））
=OD+DP=OP
得 点P在BC的垂直平分线上
∴P的轨迹过△ABC的外心.
希望能解决您的问题.