无穷多个无穷小的积是无穷小吗

在无穷小量和无穷大量这节中,在讲到无穷小的性质时指出,有限个无穷小的和与积还是无穷小,这当然是正确的,但并没有特别强调无穷多个无穷小的和与积的运算结果.从表面上看无穷多个无穷小的积似乎是无穷小,但一时却不容易说清楚,这使许多学生产生了一些疑问,尤其是很多人误认为无穷多个无穷小的乘积一定是无穷小.事实上无穷多个无穷小的和与积并不一定是无穷小,这只要给出简单的反例就可说明.例1 设函数,则当时,对每一个自然数都有,即是无穷小量.但他们的和为（）,当时,函数不是无穷小量.例2 设函数,则当时,对每一个自然数都有,即是无穷小量.但他们的积为（）,当时,函数也不是无穷小量.