yaxiange 幼苗
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t2+2 |
8t |
t2+2 |
8t |
(1)证明:∵x,y均为正数,且0<a<1,根据指数函数性质可知,总有实数m,n使得x=am,y=an,
于是f(xy)=f(aman)=f(am+n)=(m+n)f(a)=m+n,…(2分)
又f(x)+f(y)=f(am)+f(an)=mf(a)+nf(a)=m+n,∴f(xy)=f(x)+f(y)(5分)
(2)证明:任设x1,x2∈R+,x1>x2,可令x1=x2t(t>1),t=aα(α<0)…(7分)
则由(1)知f(x1)-f(x2)=f(x2t)-f(x2)=f(x2)+f(t)-f(x2)=f(t)=f(aα)=αf(a)=α<0,
即f(x1)<f(x2).∴f(x)在正实数集上单调递减;
(3)令loga(4-x)=t,原不等式化为f(t2+2)-f(8t)≤3,其中t>0.∵f(x)-f(y)=f(x)+f(y-1)=f(
x
y)且f(a)=1(0<a<1),
不等式可进一步化为f(
t2+2
8t)≤f(a3),….(12分)
又由于单调递减,∴
t2+2
8t≥a3对于t>0恒成立.…(13分)
而
t2+2
8t=
1
8((
t−
2
t)2+2
2)≥
1
2
2,
且当t=
2时(
t2+2
8t)min=
点评:
本题考点: 函数恒成立问题.
考点点评: 本题以抽象函数为依托,考查利用函数单调性的定义解函数值不等式,属于难题.解决抽象函数的问题一般应用赋值法,在解题过程中体现了转化的思想,在转化过程中还要注意函数的定义域.
1年前
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