如图1，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=8，现将此矩形折叠，使得A与C重合，然后沿折痕EF裁开，得到两个直角梯形，
如图1，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=8，现将此矩形折叠，使得A与C重合，然后沿折痕EF裁开，得到两个直角梯形，将它们拼在一起，放置于平面直角坐标系内，如图2所示．
（1）求图2中梯形EFNM各顶点的坐标．
（2）动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度，向点E运动；动点Q从点F出发，以每秒a个单位的速度，向点N出发．若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
①若a=2，问：是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形EFNM的面积分成1：2两部分？若存在，请求出所有可能的t的值；若不存在，请说明理由．
②是否存在这样的a，使得运动过程中，存在这样的t，使得以P、E、Q、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．
（1）求图2中梯形EFNM各顶点的坐标．
（2）动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度，向点E运动；动点Q从点F出发，以每秒a个单位的速度，向点N出发．若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
①若a=2，问：是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形EFNM的面积分成1：2两部分？若存在，请求出所有可能的t的值；若不存在，请说明理由．
②是否存在这样的a，使得运动过程中，存在这样的t，使得以P、E、Q、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．
赞 豹子大侠 花朵
共回答了29个问题采纳率：86.2% 举报
解题思路：（1）设DE=x，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得x，再得AE、CF的长，即可得梯形EFNM各顶点的坐标；
（2）①先求的S梯形EFNM=S矩形ABCD=32，直线PQ将梯形EFNM的面积分成1：2两部分，分S四边形EFQP：S四边形PQNM=1：2和S四边形EFQP：S四边形PQNM=2：1，两种情况讨论；
②第一种情形：若EPQO为菱形，易得EO=5，由于ON=5，若Q运动到N，则OQ=5，只要满足EP=5，则可证四边形EPQO为菱形；第二种情形：若EQOP为菱形，在Rt△OPD中，由勾股定理得t=[11/6]，再求得a的值．
（2）①先求的S梯形EFNM=S矩形ABCD=32，直线PQ将梯形EFNM的面积分成1：2两部分，分S四边形EFQP：S四边形PQNM=1：2和S四边形EFQP：S四边形PQNM=2：1，两种情况讨论；
②第一种情形：若EPQO为菱形，易得EO=5，由于ON=5，若Q运动到N，则OQ=5，只要满足EP=5，则可证四边形EPQO为菱形；第二种情形：若EQOP为菱形，在Rt△OPD中，由勾股定理得t=[11/6]，再求得a的值．
（1）设DE=x，则CE=AE=8-x，
∵在Rt△CDE中利用勾股定理可求得：42+x2=（8-x）2，
x=3，8-3=5，
∴E（-3，4），M（3，4），F（-5，0），N（5，0）；
（2）①∵当a=2时，MP=t，QN=10-2t，S梯形EFNM=S矩形ABCD=32，
若S四边形EFQP：S四边形PQNM=1：2，
(6−t+2t)×4
2：
(t+10−2t)×4
2=1：2
可得t=-[2/3]（舍去）
若S四边形EFQP：S四边形PQNM=2：1，
(6−t+2t)×4
2：
(t+10−2t)
2=2：1
可得t=[14/3]．
∴若a=2，则当t=[14/3]时，直线PQ将梯形EFNM的面积分成1：2两部分．
②第一种情形：若EPQO为菱形，不难求得EO=5，由于ON=5，
若Q运动到N，则OQ=5．
又∵EP∥OQ，只要满足EP=5，则可证四边形EPQO为菱形．
由EP=6-t=5，可得t=1，此时，可求得a=10．
第二种情形：若EQOP为菱形，则DP=3-t，OP=EP=6-t．
在Rt△OPD中，由勾股定理得t=[11/6]．
由QO=EP=6-[11/6]=[25/6]，可得FQ=5-QO=[5/6]，
∴这种情形下，a=[5/6]÷[11/6]=[5/11]．
∴存在符合条件的a=10或a=[5/11]，使得以P、E、Q、O为顶点的四边形为菱形．
点评：
本题考点： 四边形综合题．
考点点评： 本题主要考查了四边形的综合题，用到折叠的性质，勾股定理，以及菱形的判定，难度较大．
1年前
3
可能相似的问题
你能帮帮他们吗