己知抛物线C:x的2次方等于2py(p>0)的焦点F,A、B是抛物线C异于坐标原点O的不同两点,抛物线C在点A ,B处的

1、
y=x²/2p
设A(x1,x1²/2p),B(x2,x2²/2p)
y'=x/p,
因为L1⊥L2
则(x1/p)*(x2/p)=-1
即：x1x2=-p²
L1：y=(x1/p)(x-x1)+x1²/2p=x1x/p-x1²/2p
L2：y=(x2/p)(x-x2)+x2²/2p=x2x/p-x2²/2p
联列方程：x1x/p-x2x/p=x1²/2p-x2²/2p
x(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2)/2
x=(x1+x2)/2
代入L1得y=x1(x1+x2)/2p-x1²/2p
=x1x2/2p
把x1x2=-p²代入上式,得：y=-p/2
所以,点D的纵坐标是-p/2；
2、
A(x1,x1²/2p),B(x2,x2²/2p),F(0,p/2)
AF的斜率k=(x1²/2p-p/2)/x1=x1/2p-p/2x1
BF的斜率k=(x2²/2p-p/2)/x2=x2/2p-p/2x2,①
由（1）x1x2=-p²得：x2=-p²/x1代入①式
得BF的斜率k=x2/2p-p/2x2=-p/2x1+x1/2p
显然BF的斜率与AF的斜率相等,
所以：A,B,F三点共线；
3、
由（1）D的纵坐标y=-p/2=-1,得：p=2,则x1x2=-p²=-4；
D的很坐标x=(x1+x2)/2=3/2,则：x1+x2=3；
两式联列可解得：x1=-1,x2=4
所以A(-1,1/4),B(4,4)
抛物线为y=x²/4
y'=x/2 ,则y'(-1)=-1/2,y'(4)=2；
所以L1：y=-(x+1)/2+1/4=-x/2-1/4；即L1：2x+4y+1=0
L2：y=2(x-4)+4=2x-4；即L2：2x-y-4=0
假设存在,
则圆心必然在AB的中垂线上,
易得AB的中垂线为y=3(x-3/2)/4+17/8=3x/4+1
设圆心为(a,3a/4+1)
圆心到L1的距离d1²=(5a+5)²/20=5(a+1)²/4
圆心到L2的距离d2²=5(a-4)²/16
d1=d2,得：a=-6或a=2/3
圆心到B(4,4)的距离d²=(a-4)²+(3a/4-3)²=25(a-4)²/16
d=d2,得：a=4
无公共解,所以,不存在满足题意的圆.
呼.大概就是这样,不能保证第三小题有错误,计算量实在是太大了