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三角形ABC中,若COSA＋COSB＝SINC,则三角形ABC是直角三角形
证明如下
cosA+cosB=sinC=sin[π-(A+B)]
∴ cosA+cosB=sin(A+B)
∴ cosA+cosB=sinAcosB+cosAsinB
∴ (cosA+cosB)²=(sinAcosB+cosAsinB)²
∴ cos²A+cos²B+2cosAcosB=sin²Acos²B+2sinAcosAsinBcosB+cos²Asin²B
∴ cos²A(1-sin²B)+cos²B(1-sin²A)+2cosAcosB-2sinAcosAsinBcosB=0
∴ 2cos²Acos²B+2cosAcosB-2sinAcosAsinBcosB=0
∴ 2cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB+1)=0
∴ 2cosAcosB[cos(A+B)-1]=0
∵ cos(A+B)≠1
∴ cosA=0或cosB=0
∴ A=90°或B=90°
∴ 三角形ABC是直角三角形.
证明如下
cosA+cosB=sinC=sin[π-(A+B)]
∴ cosA+cosB=sin(A+B)
∴ cosA+cosB=sinAcosB+cosAsinB
∴ (cosA+cosB)²=(sinAcosB+cosAsinB)²
∴ cos²A+cos²B+2cosAcosB=sin²Acos²B+2sinAcosAsinBcosB+cos²Asin²B
∴ cos²A(1-sin²B)+cos²B(1-sin²A)+2cosAcosB-2sinAcosAsinBcosB=0
∴ 2cos²Acos²B+2cosAcosB-2sinAcosAsinBcosB=0
∴ 2cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB+1)=0
∴ 2cosAcosB[cos(A+B)-1]=0
∵ cos(A+B)≠1
∴ cosA=0或cosB=0
∴ A=90°或B=90°
∴ 三角形ABC是直角三角形.
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