已知函数f(x)＝ae x ，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，e＝2.718…，且函数y＝f(x)和y＝g(x)
| 已知函数f(x)＝ae x ，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，e＝2.718…，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行． (1)求常数a的值；(2)若存在x使不等式  > 成立，求实数m的取值范围；(3)对于函数y＝f(x)和y＝g(x)公共定义域内的任意实数x 0 ，我们把|f(x 0 )－g(x 0 )|的值称为两函数在x 0 处的偏差．求证：函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2. |
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解题思路：（1）求出交点，切线平行即导数值相等可解；（2）转化为新函数，求出导数，利用单调性极值解；（3）构造新函数求导，利用单调性证明.
试题解析：(1)f(x)与坐标轴的交点为(0，a)，f′(0)＝a，g(x)与坐标轴的交点为(a,0)，g′(a)＝
.
∴a＝ ，得a＝±1，又a>0，故a＝1.
(2
> 
可化为m e x .令h(x)＝x－ e x ，则h′(x)＝1－( 
)e x .
∵x>0，∴
＋ ≥ 
，e x >1 
( ＋ )e x >1.故h′(x)<0.
∴h(x)在(0，＋∞)上是减函数，因此h(x)
令h(x)＝e x －x－1，则h′(x)＝e x －1>0.∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故h(x)>h(0)＝0，即e x －1>x. ①
令m(x)＝lnx－x＋1，则m′(x)＝
－1.
当x>1时，m′(x)<0，当00.∴m(x)有最大值m(1)＝0，因此lnx＋1
∴函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
试题解析：(1)f(x)与坐标轴的交点为(0，a)，f′(0)＝a，g(x)与坐标轴的交点为(a,0)，g′(a)＝
. ∴a＝
，得a＝±1，又a>0，故a＝1. (2
> 
可化为m e x .令h(x)＝x－ e x ，则h′(x)＝1－( 
)e x . ∵x>0，∴
＋ ≥ 
，e x >1 
( ＋ )e x >1.故h′(x)<0. ∴h(x)在(0，＋∞)上是减函数，因此h(x)
令h(x)＝e x －x－1，则h′(x)＝e x －1>0.∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故h(x)>h(0)＝0，即e x －1>x. ①
令m(x)＝lnx－x＋1，则m′(x)＝
－1. 当x>1时，m′(x)<0，当0
∴函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
(1) a＝1.(2) (－∞，0)．（3）详见解析.
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