已知正三棱锥的高为3,侧面与底面所成的角为60度,表面积为

设正三棱锥为S-ABC,高为SH,连结AH,延长与BC相交于D,连SD,
则〈SDA是侧面与底面所成二面角的平面角,为60度,
SH/SD=sin60°,SD=2√3,
底面是正三角形,DH=SD/2=√3,AD=3DH=3√3,
BD=AD/√3=3,BC=2BD=6,
表面积=S△ABC+3S△SBC
=6*3√3/2+3*2√3*6/2
=27√3.

正三棱锥=>底面为正三角形

三棱长度相等

取底边中点B则有

AB⊥CB,DB⊥CB，A关于底面的垂足O在BD上

侧面与底面所成的角为60度

=>∠ABD=60°

高为3

=>AO=3

开始计算:

题设立体是唯一固定的，可直接计算各边长:

记AD = AC = x

BC = 1/2 CD = y

由底面为正三角形、BC=y => DB=√3 y

由A0⊥DB、∠ABO=60° => DO=√(x²-9)

BO=√3

=> √3 y =√(x²-9)+√3

3y²=x²-6+2√3(x²-9)

再由AB⊥CB => x²-y²=AB²=12

=>y²=x²-12

3y²=3x²-36

x²-6+2√3(x²-9)=3x²-36

2√3(x²-9)=2x²-30

√3(x²-9)=x²-15

3x²-27=x^4-30x²+225

x^4-33x²+252=0

252=2*2*3*3*7,-33为奇数，2、2必在一边，容易试出：

(x²-12)(x²-21)=0

而 y²=x²-12,故x²=21，x=√21、y=3

算面积应该比较简单吧？

计算比较复杂，不知道用向量会不会简单些，就这样吧