概率论的问题,有关多项分布袋子中有无限多个小球,分别为红、白、黑三色,且三种颜色的小球一样多,现在要从袋子中随机取n个小

概率论的问题,有关多项分布
袋子中有无限多个小球,分别为红、白、黑三色,且三种颜色的小球一样多,现在要从袋子中随机取n个小球,由大数定律可知n越大则取出的小球中三种颜色之比越接近于1:1:1,问当n大于等于何值时可保证随机取出的小球中三种颜色比例足够接近真实比例1:1:1,有没有统计学上的定理之类.

ivy54321 1年前已收到1个回答举报

xylijun 幼苗

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大概跟你说个思路吧,你现在是通过抽球的办法来进行参数估计,参数是每种颜色球的比例,都是1/3,是个常数.估计值是一个服从多项分布的随机变量,其均值永远是（1/3,1/3,1/3）,但是方差随n改变,n越大方差越小.当n足够大时,根据中心极限定理每种球颜色比例的估计值应该服从正态分布,均值为1/3,方差也是随n增大而减小.比较有意义的一件事情是给均值找一个致信区间,比如95%致信区间,你希望这个区间是1/3+/-0.01,那么可以求出对应的n至少是多少,你需要的区间越短就需要n越大.换句话说,你所谓的足够接近1：1：1,换成统计学的语言应该是,有x%的概率使估计误差小于y,这样就可以找出对应的n.

1年前追问

ivy54321 举报

中心极限定理是没问题，但注意这是一个多项分布，其中的任意一项来说，都符合二项分布，而二项分布的方差是npq，也即方差并不会随n增大而减小，反而是增加，真正会减少的是离散系数。另外因为多项分布在n有限时各项之间存在相互影响，比如取到红球的比例为1/3+0.01符合限制条件，但这种偏离可能会增大白球和黑球的方差，像这种影响又该如何计算呢？

举报 xylijun

方差是会减小的，你说到二项分布，我就用二项分布来说吧，简单一点。对一个二项分布来说，当然是n越大方差越大，但现在我们考虑的估计值服从的二项分布，是n个零一分布的均值，其方差不是npq，而是pq/n，你说的离散系数自然也是减小的，因为离散系数是标准差/均值，标准差（方差）减小离散系数自然减小。另外，在这个问题中，三个二项分布的确不是独立的，但这种相关性并不会让一种球符合条件，另外两种不符合，由于三种球完全对称，当n增大时三个致信区间会同时缩短，一个达到要求另外两个也会同时达到要求，所以只要给任何一种颜色的球找出致信区间就可以了。

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