已知f'(x)为f(x)的导函数,且定义在R上,对任意的x都有2f(x)+xf'(x)>x^2,试证明f(x)>0

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1
当x=0时,原式为;
2f(0)+0>0==>f(0)>0
2当x>0时
[x²f(x)]'=2xf(x)+x²f'(x)
=x[2f(x)+xf'(x)]>x³>0.
所以函数：x²f(x)单调增,x²f(x)>0²f(0)=0==>f(x)>0
3,当x0
综合可知：
f(x)>0

1年前

老兵四郎幼苗

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x>0时，2xf(x)+x^2f'(x)>x^3
(x^2f(x))'>x^3>0
即g(x)=x^2f(x)单增，且g(0)=0，所以g(x)>0，所以f(x)>0
x<0时，类似地，g(x)=x^2f(x)单减，且g(0)=0，所以g(x)>0，所以f(x)>0
当x=0时，2f(0)>0，f(0)>0
综上，f(x)>0

1年前

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