已知函数f（x）=[2/3]ax3+（a-1）bx2-2x+1，a∈R．

（1）∵f（x）=[2/3]ax³+（a-1）bx²-2x+1，且b=1，
∴f′（x）=2（ax-1）（x+1），
①a＞-1时，
令f′（x）＞0，解得：x＞-1，x＜[1/a]，
令f（x）＜0，解得：[1/a]＜x＜-1，
∴f（x）在（-∞，[1/a]），（-1，+∞）递增，在（[1/a]，-1）递减，
②a≤-1时，
令f′（x）＞0，解得：x＞[1/a]，x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜[1/a]，
∴f（x）在（-∞，-1），（[1/a]，+∞）递增，在（-1，[1/a]）递减．
（2）a=2时，f（x）=[4/3]x³+bx²-2x+1，
∴f′（x）=4x²+2bx-2，
若函数y=f（x）在（1，2）上存在增区间，
只需4x²+2bx-2≥0在（1，2）恒成立，
即b≥[1/x]-2x在（1，2）恒成立，
令h（x）=[1/x]-2x，则h′（x）=-[1
x2-2＜0，
∴h（x）在（1，2）递减，
∴h（x）＜h（1）=-1，
∴b≥-1．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，分离参数法求参数的范围，考查分类讨论思想，是一道综合题．

1年前

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