设函数 f ( x )＝ ax n (1－ x )＋ b ( x ＞0)， n 为正整数， a ， b 为常数．曲线 y

(1) a ＝1， b ＝0. (2)

(1)因为 f (1)＝ b ，由点(1， b )在 x ＋ y ＝1上，可得1＋ b ＝1，即 b ＝0.
因为 f ′( x )＝ anx ^{n －1} － a ( n ＋1) x ⁿ ，所以 f ′(1)＝－ a .
又因为切线 x ＋ y ＝1的斜率为－1，所以－ a ＝－1，即 a ＝1.故 a ＝1， b ＝0.
(2)由(1)知， f ( x )＝ x ⁿ (1－ x )＝ x ⁿ － x ^{n ＋1} ， f ′( x )＝( n ＋1) x ^{n －1} .
令 f ′( x )＝0，解得 x ＝ ，在 上， f ′( x )＞0，故 f ( x )单调递增；
而在 上， f ′( x )＜0，故 f ( x )单调递减．
故 f ( x )在(0，＋∞)上的最大值为 f ＝ ⁿ · ＝ .