怎么应用伽罗华的理论来判断五次以上方程是否有根式解?

Galois理论只是在理论上给出了判定多项式有根式解的方法.
一个非常粗略的过程如下.
1. 将多项式分解为不可约因子的乘积.
2. 计算每个不可约因子的Galois群.
3. 判断各Galois群是否可解群.
多项式存在根式解当且仅当某个不可约因子的Galois群是可解群.
所有解都具有根式形式当且仅当所有不可约因子的Galois群都可解.
实际上上述3步计算都是相当困难的.
关于多项式的分解, 因子的系数存在可计算的(某种意义上的)上界.
因此至少在理论上是可以枚举计算的.
关于Galois群的计算, 可以通过约化到有限域上来确定根的轮换方式.
再结合某些其它的信息, 可将Galois群作为置换群的子群确定下来.
关于有限群的可解性判定, 既然是有限群, 理论上总是可计算的.
总之, 判断是否有根式解的算法是存在的(但效率难以保证).
好消息是有一些数学软件可以进行计算(例如Magma).
就你的两个例子来说, Galois群分别是S5和S7, 都是不可解的, 因此没有根式解.