已知函数f（x）=xlnx；（Ⅰ）函数g（x）=-ax+f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）+x-k（x-1）

解题思路：（Ⅰ）利用导数运算法则求出导函数，令导函数小于0求出x的范围与定义域的公共范围是函数的单调递减区间，令导函数大于0求出x的范围与定义域的公共范围是函数的单调递增区间；
（Ⅱ）把函数f（x）的解析式代入f（x）+x-k（x-1）＞0，整理后得k＜[x•lnx+x/x−1]，问题转化为对任意x∈（1，+∞），k＜[x•lnx+x/x−1]恒成立，求正整数k的值．设函数h（x）=[x•lnx+x/x−1]，求其导函数，得到其导函数的零点x₀位于（3，4）内，且知此零点为函数h（x）的最小值点，经求解知h（x₀）=x₀，从而得到k＜x₀，则正整数k的最大值可求．．

（Ⅰ）由于函数g′（x）=（-ax）′+f′（x）=-a+1+lnx，其定义域为（0，+∞）
令g′（x）＞0，x＞e^a-1，令g′（x）＜0，0＜x＜e^a-1，
则函数g（x）的单调增区间为（e^a-1，+∞），
函数g（x）的单调减区间为（0，e^a-1）；
（Ⅱ））因为f（x）=xlnx，所以f（x）+x-k（x-1）＞0对任意x＞1恒成立，
即k（x-1）＜x+xlnx，
因为x＞1，
也就是k＜[x•lnx+x/x−1]对任意x＞1恒成立．
令h（x）=[x•lnx+x/x−1]，
则h′(x)＝
x−lnx−2
(x−1)2，
令φ（x）=x-lnx-2（x＞1），
则φ′(x)＝1−
1
x＝
x−1
x＞0，
所以函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为φ（3）=1-ln3＜0，φ（4）=2-2ln2＞0，
所以方程φ（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，φ（x）＜0，
即h′（x）＜0，当x＞x₀时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以函数h（x）=[x•lnx+x/x−1]在（1，x₀）上单调递减，
在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[h(x)]min＝h(x0)＝
x0(1+inx0)
x0−1=
x0(1+x0−2)
(x0−1)＝x0∈（3，4）．
所以k＜[g（x）]_min=x₀
因为x₀∈（3，4）．
故整数k的最大值是3．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（Ⅱ）时如何求解函数h（x）的最小值，学生思考起来有一定难度．