设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-[1/2]相切．

解题思路：（1）对f（x）进行求导，f′（x）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．

（1）∵函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），∴f′（x）=[a/x]-2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-[1/2]相切，
∴

f′(1)＝a−2b＝0
f(1)＝−b＝−
1
2，解得

a＝1
b＝
1
2；
（2）f（x）=lnx-[1/2]x²，f′（x）=
1−x2
x，
当[1/e]≤x≤e时，令f'（x）＞0得[1/e]≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[[1/e]，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=-[1/2]；

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．