在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方

解题思路：（1）法一：连接D₁C，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，可证四边形A₁BCD₁是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
法二：根据长方体的几何特征由平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．证得A₁B∥平面CDD₁C₁．
（2）设A₁A=h，已知几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为[40/3]，利用等体积法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，进行求解．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，过Q作QP∥CB交BC₁于点P，推出A₁P⊥C₁D，证明A₁P⊥C₁D，推出△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，再求求线段A₁P的长．

证明：（1）证法一：如图，连接D₁C，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC．
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形．
∴A₁B∥D₁C．
∵A₁B⊄平面CDD₁C₁，D₁C⊂平面CDD₁C₁，
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
证法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．
∵A₁B⊂平面A₁AB，A₁B⊄平面CDD₁C₁．
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
（2）设A₁A=h，∵几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为[40/3]，
∴V_ABCD-A1C1D1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B-A1B1C1=[40/3]，
即S_ABCD×h-[1/3]×S△A₁B₁C₁×h=[40/3]，
即2×2×h-[1/3]×[1/2]×2×2×h=[40/3]，解得h=4．
∴A₁A的长为4．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
过Q作QP∥CB交BC₁于点P，则A₁P⊥C₁D．（7分）
因为A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D⊂平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，
∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，
∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P⊂平面A₁PQC₁，
∴A₁P⊥C₁D．（10分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴
C1Q
CD=
D1C1
C1C，
∴C₁Q=1
又∵PQ∥BC，
∴PQ=[1/4]BC=[1/2]．
∵四边形A₁PQD₁为直角梯形，且高D₁Q=
5，
∴A₁P=
(2−
1
2)2+5=

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征．

考点点评： 本题考查的知识点是线面平行，组合几何体的面积、体积问题，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．