aileen5791 花朵
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(本小题满分13分)
(1)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,
则f'(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a),…(1分)
令f'(x)=0,得x=a或[a/3],而二次函数g(x)在x=
a−1
2处有极大值,
∴[a−1/2=a⇒a=−1或
a−1
2=
a
3⇒a=3;
综上:a=3或a=-1.…(4分)
当a=3时,y=f(x)的单调增区间是(-∞,1],[3,+∞),减区间是(1,3)…(5分)
当a=-1时,y=f(x)的单调增区间是(−∞,−1], [−
1
3,+∞),减区间是(−1,−
1
3); …(6分)
(2)f(x)−g(x)=x(x−a)2−[−
x2 +(a−1)x+a]
=x(x-a)2+(x-a)(x+1)
=(x−a)[
x2 +(1−a)x+1],…(8分)
h(x)=
x2 +(1−a)x+1,△=(a+1)(a-3)
1°当-1<a<3时,△<0,h(x)=0无解,故原方程的解为x=a∈[-1,3],满足题意,
即原方程有一解,x=a∈[-1,3];…(9分)
2°当a=3时,△=0,h(x)=0的解为x=1,故原方程有两解,x=1,3;
3°当a=-1时,△=0,h(x)=0的解为x=-1,故原方程有一解,x=-1;
4°当a>3时,△>0,由于h(-1)=a+1>4,h(0)=1,h(3)=13-3a
若13−3a≤0⇒a≥
13
3]时,h(x)=0在[-1,3]上有一解,故原方程有一解;
若13−3a>0⇒3<a<
13
3时,h(x)=0在[-1,3]上无解,故原方程有无解;
5°当a<-1时,△>0,由于h(-1)=a+1<0,h(0)=1,h(3)=13-3a>0,
h(x)=0在[-1,3]上有一解,故原方程有一解;…(11分)
综上可得:当3<a<
13
3时,原方程在[-1,3]上无解;当a<3或a≥
13
3时,原方程在[-1,3]上有一解;当a=3时,原方程在[-1,3]上有两解.…(13分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查函数与导数的应用,函数的极值以及函数的单调区间,函数的零点的判断,考查分类讨论思想的应用,转化思想以及计算能力.
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