设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，且g（x）＞0．利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使 ∫

解题思路：此题类似于“定积分中值定理”，这里也采用定积分中值定理的证明方法

证明：∵f（x）在[a，b]上连续
∴由闭区间上的最值定理，∃m，M，使得
m≤f（x）≤M
而在[a，b]上，g（x）＞0
∴mg（x）≤f（x）g（x）≤Mg（x）
∴
∫bamg(x)dx≤
∫baf(x)g(x)dx≤
∫baMg(x)dx
∴m≤

∫baf(x)g(x)dx

∫bag(x)dx≤M
这说明，确定的数值

∫baf(x)g(x)dx

∫bag(x)dx是介于函数f（x）的最小值m和最大值M之间的
∴由闭区间上连续函数的介值定理，至少存在一点ξ∈[a，b]，使得


∫baf(x)g(x)dx

∫bag(x)dx＝f(ξ)
即：
存在一点ξ∈[a，b]，使
∫baf(x)g(x)dx＝f(ξ)
∫bag(x)dx．
得证．

点评：
本题考点： 最值定理及其推论的运用；介值定理及其推论的运用；定积分的基本性质．

考点点评： 此题也可以看成积分中值定理的推广．需要用到最值定理和介值定理．

则G(a)=f(a)-a>=0 G(b)=f(b)-b<=0 当f(a)-a=0或者f(b)-b=0时，显然存在一点A满足f(A)=A 若不等于0，根据零点定理知，区间内存在