设k、a、b为正整数,k被a、b整除所得的商分别为m,m+116,（1）若a、b互质,证明a-b与a、b互质（2）当a、

你好! （1）设s为a 2 -b 2 与a 2 的最大公约数, 则a 2 -b 2 =su,a 2 =sv,u,v是正整数, ∴a 2 -（a 2 -b 2 ）=b 2 =s（v-u）,可见s是b 2 的约数, ∵a,b互质, ∴a 2 ,b 2 互质,可见s=1． 即a 2 -b 2 与a 2 互质,同理可证a 2 -b 2 与b 2 互质； （2）由题知：ma 2 =（m+116）b 2 , m（a 2 -b 2 ）=116b 2 , ∴（a 2 -b 2 ）|116b 2 , ∵（a 2 -b 2 ,b 2 ）=（a 2 ,b 2 ）=1, ∵（a 2 -b 2 ）|116, 所以a 2 -b 2 是116的约数,116=2×2×29, a 2 -b 2 =（a-b）（a+b）, 而a-b和a+b同奇偶性,且a,b互质, ∴a 2 -b 2 要么是4的倍数,要么是一个大于3的奇数, ∴（a-b）（a+b）=29 或（a-b）（a+b）=116, ∴a-b=1,a+b=29或a-b=1,a+b=116或a-b=2,a+b=58或a-b=4,a+b=29, 解得只有一组解符合条件, a=15,b=14, ∴m（15 2 -14 2 ）=116×14 2 , ∴m=4×142=784, ∴k=784×15 2 =176400； （3）设a=5x,b=5y,（x,y）=1, 则m（a 2 -b 2 ）=116b 2 , ∴即m（25x 2 -25y 2 ）=116（25y） 2 , ∴m（x 2 -y 2 ）=116（y） 2 , ∵x,y互质,则有：m=2 4 ×7 2 , ∴x=15,y=14, a=75,b=70,m=784, k=784×75 2 =4410000． 希望能够帮助你!谢谢!