已知A.B是三角形ABC的两个锐角,
已知A.B是三角形ABC的两个锐角,
a=根号二*cos【(A+B)/2】*i+sin【(A-B)/2】*j.（其中i和j是相互垂直的方向向量.）a的绝对值=根号六/2.求tanA*tanB是否为定值 tanC的最大值和此时三角形的形状
a=根号二*cos【(A+B)/2】*i+sin【(A-B)/2】*j.（其中i和j是相互垂直的方向向量.）a的绝对值=根号六/2.求tanA*tanB是否为定值 tanC的最大值和此时三角形的形状
赞 飘舞的精灵0601 幼苗
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在回答这题之前我先澄清一个问题!题目中｜a｜不是a的绝对值,而是a的模长!
由题容易知道向量a的坐标为（√2 *cos【(A+B)/2】,sin【(A-B)/2】 ).
因为a的模长为√6 /2 .所以2 *cos【(A+B)/2】＾2 +sin【(A-B)/2】＾2 =3/2
利用二倍角公式代换一下并化简就能够得到3sinA*sinB=cosA*cosB,所以tanA*tanB=1/3,是定值
tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=-3(tanA+tanB)/2
因为A.B是锐角,所以tanA,tanB都大于零,利用基本不等式得tanA+tanB≥2√（tanA*tanB)=2√3 /3(当tanA=tanB,即A=B时取等号）
所以原式tanC=-3(tanA+tanB)/2 ≤-√3.所以当A=B时tanC取最大值为-√3.此时的∠C=120°.∠A＝∠B＝30°.所以为顶角为120°的等腰三角形
由题容易知道向量a的坐标为（√2 *cos【(A+B)/2】,sin【(A-B)/2】 ).
因为a的模长为√6 /2 .所以2 *cos【(A+B)/2】＾2 +sin【(A-B)/2】＾2 =3/2
利用二倍角公式代换一下并化简就能够得到3sinA*sinB=cosA*cosB,所以tanA*tanB=1/3,是定值
tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=-3(tanA+tanB)/2
因为A.B是锐角,所以tanA,tanB都大于零,利用基本不等式得tanA+tanB≥2√（tanA*tanB)=2√3 /3(当tanA=tanB,即A=B时取等号）
所以原式tanC=-3(tanA+tanB)/2 ≤-√3.所以当A=B时tanC取最大值为-√3.此时的∠C=120°.∠A＝∠B＝30°.所以为顶角为120°的等腰三角形
1年前
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