已知三个自然数的乘积是奇数，如果将其中两个数各减去1后，这三个数的乘积是416，那么原来三个数的乘积是______．

解题思路：三个自然数的乘积是奇数，那么这三个自然数都是奇数，其中的两个数减去1，变成了偶数；把416分解质因数，找出不变的奇数，再分情况讨论变化的数，进而求积．

设3个自然数分别为x、y、z；3个自然数乘积为奇数，那么这3个自然数均是奇数；
416=1×2×2×2×2×2×13；
由于只有两个自然数减1而变为偶数，所以必有一个自然数为1或13；
①设x=1，那么（y，z）有四种情况：（17，27）、（9，53）、（5，105）、（3，209），
积分别为：
1×17×27=459；
1×9×53=477；
1×5×105=525；
1×3×209=627；
②设x=13，（y，z）也有四种情况（17，3）、（9，5）、（5，9）、（3，17），这时积分别是：
13×17×3=663；
13×3×17=663；
13×9×5=585；
13×5×9=585；
综上所述，这3个自然数为（1，17，27）、（1，9，53）、（1，5，105）、（5，9，13）、（1，3，209）、（3，13，17），
积有6种情况：459、477、525、585、627、663．
故答案为：459、477、525、585、627、663．

点评：
本题考点： 质数与合数问题．

考点点评： 先根据乘积的奇偶性得出这三个数都是奇数，再根据分解因数的方法，得出乘积是416的三个数，进而得出原来的三个数，求出积．

当三个数为 5 9 13 时 乘积是585 当是 3 209 1 时 是627

不妨设这3个数为x,y,z,则x,y,z都为奇数；又因为416=2*2*2*2*2*13，x,y,z中只有两个数进行了减一操作，故x,y,z中必有一个为13，那么另外两个数有两种可能，一种是5和9，另一种是3和17，所以原来三个数的乘积有两种可能，13*5*9=585或13*3*17=663

416=2^5*13
5,9,13;
3,17,13.