1.过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的任意一条直线m,交抛物线于P1,P2两点,求证：以P1P2为直径的圆和该抛

1、
过P1做直线P1M垂直准线于M,过P2做直线P2N垂直准线于N,
有抛物线的定义：P1M=P1F,P2N=P2N
设P1P2的中点为A,过A做AB垂直准线于B
体形P1MNP2中,AB为中位线
则：AB=(P1M+P2N)/2=(P1F+P2F)/2=P1P2/2.
故：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切
2、
（1）设A(x1,y1)B(x2,y2)
设直线方程：y=kx+b
y1^2=2px1,y2^2=2px2
相减：y1^2-y2^2=2p(x1-x2)
则：k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)
又：y1=kx1+b
y2=kx2+b
直线带入抛物线：
k^2x^2+(2kb-2p)x+b^2=0
x1+x2=-(2kb-2p)/k^2
x1x2=b^2/k^2
y1+y2=k(x1+x2)+2b=2p/k
y1y2=k^2x1x2+kb(x1+x2)+b^2=2pb/k
向量OA*OB=0
x1x2+y1y2=b^2+2pbk=0
则：b=-2pk
直线方程：y=kx-2pk
y=k(x-2p),恒过(2p,0)点
(2)AB垂直X轴时S最大,将（2p,0）带入
y=√2p*2p=2p
S=(4p*2p)/2=4p^2

P1到准线距离为d1,P2到准线的距离为d2.
P1P2=d1+d2
P1,P2中点到准线距离为(d1+d2)/2
所以相切
y=kx y=-1/k x
算出交点,做就行了.