已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 1 2 ，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．

（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1 (a＞b＞0)
由题意：


c
a =
1
2
a+c=3
a 2 = b 2 + c 2 ⇒

a=2
b=
3
c=1
所求椭圆方程为：
x 2
4 +
y 2
3 =1 ．…（5分）
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则 m=±

3
2 ．
若过点P（0，m）的直线斜率为k，
即： m≠±

3
2 时，
直线AB的方程为y-m=kx
由

y=kx+m
3 x 2 +4 y 2 =12 ⇒(3+4 k 2 ) x 2 +8kmx+4 m 2 -12=0 ，
△=64m ² k ² -4（3+4k ² ）（4m ² -12），
因为AB和椭圆C交于不同两点，
所以△＞0，4k ² -m ² +3＞0，
所以4k ² ＞m ² -3 ①
设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），
由已知

AP =3

PB ，
则 x 1 + x 2 =-
8km
3+4 k 2 ， x 1 x 2 =
4 m 2 -12
3+4 k 2 ②


AP =(- x 1 ，m- y 1 )，

PB =( x 2 ， y 2 -m) -x ₁ =3x ₂ ③
将③代入②得： -3(
4km
3+4 k 2 ) 2 =
4 m 2 -12
3+4 k 2
整理得：16m ² k ² -12k ² +3m ² -9=0
所以 k 2 =
9-3 m 2
16 m 2 -12 代入①式，
得 4 k 2 =
9-3 m 2
4 m 2 -3 ＞ m 2 -3
4 m 2 ( m 2 -3)
4 m 2 -3 ＜0 ，
解得
3
4 ＜ m 2 ＜3 ．
所以 -
3 ＜m＜-

3
2 或

3
2 ＜m＜
3 ．
综上可得，实数m的取值范围为： (-
3 ，-

3
2 ]∪[

3
2 ，
3 ) ．…（14分）