（本小题满分12分）已知函数f(x)= x3+ ax2+ax-2(a∈R),(1)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为
| （本小题满分12分） 已知函数f(x)=  x3+ ax2+ax-2(a∈R),(1)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围； (2)设A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函数f(x)的两个极值点，若直线AB的斜率不小于-  ，求实数a的取值范围. |
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(1
)因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为单调递增函数，
所以f′(x)=x2+ax+a>0在(-∞，+∞)上恒成立.
由Δ=a2-4a<0，解得0又当a=0时，f(x)=
x3-2在(-∞，+∞)上为单调递增函数;
当a=4时，f(x)= x3+2x2+4x-2= (x+2)3-
在(-∞，+∞)上为单调递增函数，
所以0≤a≤4. 6分（12分文）
(2)依题意，方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1、x2，
由Δ=a2-4a>0，解得a<0或a>4,且x1+x2=-a，x1x2="a. " 8分
所以f(x1)-f(x2)=［ (x12+x1x2+x22)+
a(x1+x2)+a］(x1-x2).
所以
= ［(x1+x2)2-x1x2］+ a(x1+x2)+a= (a2-a)+ a(-a)+a=-
a2+
a≥-
.
解之,得-1≤a≤5.
所以实数a的取值范围是-1≤a<0或4
略
)因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为单调递增函数，所以f′(x)=x2+ax+a>0在(-∞，+∞)上恒成立.
由Δ=a2-4a<0，解得0
x3-2在(-∞，+∞)上为单调递增函数;当a=4时，f(x)=
x3+2x2+4x-2= (x+2)3-
在(-∞，+∞)上为单调递增函数，所以0≤a≤4. 6分（12分文）
(2)依题意，方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1、x2，
由Δ=a2-4a>0，解得a<0或a>4,且x1+x2=-a，x1x2="a. " 8分
所以f(x1)-f(x2)=［
(x12+x1x2+x22)+
a(x1+x2)+a］(x1-x2).所以
= ［(x1+x2)2-x1x2］+ a(x1+x2)+a= (a2-a)+ a(-a)+a=-
a2+
a≥-
.解之,得-1≤a≤5.
所以实数a的取值范围是-1≤a<0或4
略
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