如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连接DE、OE．

（1）证明：连接OD，（1分）
∵O、E分别是BC、AC中点，
∴OE ∥ AB．
∴∠1=∠2，∠B=∠3．
∵OB=OD，
∴∠2=∠3．
∵OD=OC，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE．
∴∠OCE=∠ODE．
∵∠C=90°，
∴∠ODE=90°．（2分）
∴DE是⊙O的切线．（3分）

（2）在Rt△ODE中，
∵OD=
3
2 ，DE=2，
∴OE=
5
2 ．（5分）
又∵O、E分别是CB、CA的中点，
∴AB=2•OE=2×
5
2 =5．
∴所求AB的长是5cm．（7分）