设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71829…），f′（x）表示f（x）的导函数．

解题思路：（I）先对函数进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．
（II）根据递推关系求出数列通项an，假设数列{an}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t，寻求矛盾即可．
（III）假设存在，再进行论证．

（I）f′（x）=
1/x]-e=[1−ex/x]=0，得x=[1/e]，
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

x（0，[1/e]）[1/e]（ [1/e]，+∞）
f′（x）+0-
f（x）单调递增极大值单调递减∴当x=[1/e]时，f（x）取得极大值f（[1/e]）=-2，没有极小值；…（4分）
（II）∵a_n+1=2f′（
1
an）+3e，∴a_n+1=2a_n+e，∴
an+1+e
an+e=2，
∴a_n=e（2ⁿ-1）…（6分）
假设数列{a_n}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t），
则2a_s=a_r+a_t，2e（2^s-1）=e（2^r-1）+e（2^t-1），2^s+1=2^r+2^t，
∴2^s-r+1=1+2^t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1为偶数，1+2^t-r为奇数，假设不成立
因此，数列{a_n}中不存在成等差数列的三项…（8分）
（III）∵f′（x₀）=k_AB，∴
1
x0-e=
lnx2−lnx1−e(x2−x1)
x2−x1，
∴
x2−x1
x0-ln
x2
x1=0
即x₀ln
x2
x1-（x₂-x₁）=0，设g（x）=xln
x2
x1-（x₂-x₁），
∴g（x₁）=x₁ln
x2
x

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及等差数列的性质，属于难题．