求定积分：-2到2 根号下4-x的平方 为什么一定要画图解

谁说一定要画图解的?当三角函数是废的?
画图只是用几何意义秒杀了这题而已
被积函数y = √(4 - x²),即x² + y² = 4
圆心(0,0)、半径2
而定积分的几何意义是曲线下的面积
在x轴上,圆心横坐标分别左移和右移两个单位得- 2和2,正好是圆的两个端点
y = √(4 - x²)是x² + y² = 4的上半部分
所以该定积分等于上半部分图形的面积,即1/2个圆的面积,1/2 * π * 2² = 2π
若积分限改为- 1到1,这个方法就不管用了
所以也可用三角函数来令x = 2sinθ,dx = 2cosθ dθ
y = √(4 - x²) = √(4 - 4sin²θ) = 2cosθ,θ∈[0,π]
所以∫(- 2,2) √(4 - x²) dx = ∫(0,π) 4cos²θ dθ也可以解得