设a n 是关于x的方程x n +nx-1=0（n∈N * ，x∈（0，+∞））的根．试证明：

证明：（1）设f（x）=x ⁿ +nx-1，
∵f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，
且函数f（x）的图象在（0，+∞）上是连续的，
∴f（x）在（0，1）上至少有一个零点，
即方程x ⁿ +nx-1=0在（0，1）内至少有一个根．（3分）
∵x∈（0，+∞），
∴f′（x）=nx ^n-1 +n＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴方程x ⁿ +nx-1=0在（0，+∞）内有唯一根，
且根在（0，1）内，即a _n ∈（0，1）．（5分）
（2）方法一：∵ f(
1
n )=(
1
n ) n ＞0，f(
1
n+1 )=(
1
n+1 ) n +
n
n+1 -1=(
1
n+1 ) n -
1
n+1 ≤0 ，
且函数f（x）的图象在（0，+∞）上是连续的，
∴f（x）在 [
1
n+1 ，
1
n ) 内至少有一个零点，
即方程x ⁿ +nx-1=0在 [
1
n+1 ，
1
n ) 内至少有一个根．
又由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴方程x ⁿ +nx-1=0在 [
1
n+1 ，
1
n ) 内有唯一根，
∴
1
n+1 ≤ a n ＜
1
n ．（8分）
∴
1
n+2 ≤ a n+1 ＜
1
n+1 ，
∴a _n+1 ＜a _n ．　　　　　（9分）
方法二：由（1）知，a _n ⁿ +na _n -1=0，
a _n+1 ⁿ⁺¹ +（n+1）a _n+1 -1=0，
两式相减得：a _n+1 ⁿ⁺¹ +（n+1）a _n+1 -a _n ⁿ -na _n =0，（7分）
若存在n∈N ^* ，使得a _n+1 ≥a _n ，
则a _n+1 ≥a _n ＞a _n ⁿ ，
从而a _n+1 ⁿ⁺¹ +（n+1）a _n+1 -a _n ⁿ -na _n ＞（n+1）a _n+1 -a _n ⁿ -na _n =a _n+1 -a _n ⁿ +na _n+1 -na _n ＞0，矛盾．
所以a _n+1 ＜a _n ．（9分）
（3）由题设得 a 1 =
1
2 ， a 1 2 =
1
4 ＜1 ，
当n∈N ^* 时， a n =
1- a n n
n ＜
1
n ．
∴ a 1 2 + a 2 2 ＜(
1
2 ) 2 +(
1
2 ) 2 =
1
2 ＜1 ．　　　　　　　　　（12分）
当n≥3时有a ₁ ² +a ₂ ² +a ₃ ² +… + a n 2 ＜(
1
2 ) 2 +(
1
2 ) 2 +(
1
3 ) 2 +… +(
1
n ) 2
＜
1
4 +
1
4 +
1
2•3 +
1
3•4 + … +
1
(n-1)n
=
1
4 +
1
4 +(
1
2 -
1
3 )+(
1
3 -
1
4 )+… +(
1
n-1 -
1
n )
= 1-
1
n ＜1 ．
综上a ₁ ² +a ₂ ² +…+a _n ² ＜1．　 （14分）